Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 π$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $4 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Passaggio 7.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0$