Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Allora $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , quindi $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (7 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 7 t$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $7 \sin (7 t)$ da $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Passaggio 1.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Passaggio 1.5.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Passaggio 1.5.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

${u_{2}}^{2}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ per $0$ e per $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 6.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 6.2.5

$- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Passaggio 6.2.7

Sottrai $\frac{8}{3}$ da $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{8}{21}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8}{21}$

Forma decimale:

$0.\overline{380952}$