Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 4 u + 1$ . Allora $d u_{1} = 4 d u$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 4 u + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 u + 1$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $4 u$ rispetto a $u$ è $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 2.2

Sostituisci $u$ con il limite inferiore in $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $u$ con il limite superiore in $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $8$ e $1$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 3

$\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.10

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.11

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 7.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.13.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Passaggio 7.2.13.2

Sottrai $2$ da $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Passaggio 7.2.14

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.15

Moltiplica $3$ per $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.16

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{156}{12}$

Passaggio 7.2.17

Elimina il fattore comune di $156$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.17.1

Scomponi $12$ da $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Passaggio 7.2.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.17.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Passaggio 7.2.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{13}{1}$

Passaggio 7.2.17.2.4

Dividi $13$ per $1$ .

$13$

Passaggio 8