Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} e^{- 7 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - 7 x$ . Allora $d u = - 7 d x$ , quindi $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 7$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 7 x$ .

$u_{lower} = - 7 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 7 x$ .

$u_{upper} = - 7 \cdot 3$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$u_{upper} = - 21$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 21$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Passaggio 2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{- 21} - \frac{e^{u}}{7} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{- 21} \frac{e^{u}}{7} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} \int_{0}^{- 21} e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{7} e^{u}]_{0}^{- 21}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $e^{u}$ per $- 21$ e per $0$ .

$- \frac{1}{7} ((e^{- 21}) - e^{0})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{7} e^{- 21} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Passaggio 7.2

$e^{- 21}$ e $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- \frac{1}{7} \cdot - 1$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + 1 (\frac{1}{7})$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + \frac{1}{7}$

Passaggio 7.4

Sposta $e^{- 21}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Forma decimale:

$0.14285714 \dots$

Passaggio 9