Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Passaggio 4.5

Somma $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8

Elimina il fattore comune di $48$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Scomponi $3$ da $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8.2.4

Dividi $16$ per $1$ .

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.9

Somma $0$ e $1$ .

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12

Moltiplica $0$ per $2$ .

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.13.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.15

Somma $16$ e $0$ .

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.16

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.17

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.18

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.18.1

Elimina il fattore comune.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.18.2

Riscrivi l'espressione.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.19

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.20

$\frac{2}{5}$ e $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.21

Moltiplica $2$ per $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.22

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.23

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Passaggio 6.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Passaggio 6.3.25

Sottrai $2$ da $64$ .

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Passaggio 6.3.26

Moltiplica $\frac{62}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.27

Moltiplica $62$ per $2$ .

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.28

Moltiplica $5$ per $3$ .

$16 - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.29

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.30

$16$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

Passaggio 6.3.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.32.1

Moltiplica $16$ per $15$ .

$\frac{240 - 124}{15}$

Passaggio 6.3.32.2

Sottrai $124$ da $240$ .

$\frac{116}{15}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{116}{15}$

Forma decimale:

$7.7\overline{3}$

Forma numero misto:

$7 \frac{11}{15}$

Passaggio 8