Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x^{2} + 10} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 10$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 10$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 10]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 10$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 10$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $10$ .

$u_{lower} = 10$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 10$ .

$u_{upper} = 5^{2} + 10$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 25 + 10$

Passaggio 1.5.2

Somma $25$ e $10$ .

$u_{upper} = 35$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 35$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{10}^{35} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{10}^{35} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{10}^{35} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{10}^{35} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{10}^{35}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $35$ e per $10$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 35 |) - \ln (| 10 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $35$ è $35$ .

$\frac{\ln (\frac{35}{| 10 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $10$ è $10$ .

$\frac{\ln (\frac{35}{10})}{2}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $35$ e $10$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $5$ da $35$ .

$\frac{\ln (\frac{5 (7)}{10})}{2}$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{\ln (\frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (\frac{7}{2})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{7}{2})}{2}$

Forma decimale:

$0.62638148 \dots$

Passaggio 9