Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (3)} 3 e^{3 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{\ln (3)} e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (3)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica $3 \ln (3)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$u_{upper} = \ln (3^{3})$

Passaggio 2.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = \ln (27)$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (27)$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{\ln (27)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$ per $1$ .

$\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{\ln (27)}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $e^{u}$ per $\ln (27)$ e per $0$ .

$(e^{\ln (27)}) - e^{0}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$27 - e^{0}$

Passaggio 7.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$27 - 1$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $1$ da $27$ .

$26$

Passaggio 8