Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $e^{x}$ per $\ln (2)$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{u}$ per $- \ln (2)$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Semplifica $- \ln (2)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Passaggio 8.1.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Passaggio 8.1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Passaggio 8.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 8.1.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Passaggio 8.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Passaggio 8.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Passaggio 8.1.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Passaggio 8.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 8.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 8.1.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Passaggio 8.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Passaggio 8.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 8.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$

Passaggio 10