Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica $3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Passaggio 2.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $e^{u}$ per $\ln (8)$ e per $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

Passaggio 7.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

Passaggio 7.2.5

$\frac{2}{3}$ e $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{14}{3}$

Forma decimale:

$4.\overline{6}$

Forma numero misto:

$4 \frac{2}{3}$

Passaggio 9