Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{u}$ come $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{4}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ per $9$ e per $1$ .

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{4}{3}$ e $9^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Forma decimale:

$5.59486989 \dots$

Passaggio 6