Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - (- \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + 1 (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $0$ da $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{1}^{0} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- \int_{1}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{0}))$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}))$

Passaggio 8.2

$\frac{2}{3}$ e $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 8.3

Per scrivere $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 8.4

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3 - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 8.6

Sposta $3$ alla sinistra di $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3 (- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $0$ e per $1$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{3})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 \cdot 0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{3 (- \frac{0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{3 (- \frac{3 (0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (- \frac{0}{1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{3 (- 0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 + 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.12

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.14

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 \cdot 2}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.16

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.16.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.16.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.16.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{3 (0 + 0) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.17

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.18

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.19

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.20

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.21

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.21.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.21.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.22

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.23

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.24

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.24.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.24.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.24.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.24.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.24.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.24.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.25

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.26

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.27

Sottrai $\frac{2}{5}$ da $0$ .

$\frac{0 - 2 (- \frac{2}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.28

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{0 + 2 (\frac{2}{5})}{3}$

Passaggio 9.3.29

$2$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{0 + \frac{2 \cdot 2}{5}}{3}$

Passaggio 9.3.30

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0 + \frac{4}{5}}{3}$

Passaggio 9.3.31

Somma $0$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{\frac{4}{5}}{3}$

Passaggio 9.3.32

Riscrivi $\frac{\frac{4}{5}}{3}$ come un prodotto.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 9.3.33

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{5 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.34

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{4}{15}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4}{15}$

Forma decimale:

$0.2\overline{6}$

Passaggio 11