Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

Passaggio 10

$e^{u}]_{0}^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x e^{2 x}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Passaggio 11.2

Calcola $e^{u}$ per $2$ e per $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $e^{2}$ per $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 11.3.6.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.8

Somma $\frac{e^{2}}{2}$ e $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Passaggio 11.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Passaggio 11.3.11

Per scrivere $\frac{e^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Passaggio 11.3.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.3.12.1

Moltiplica $\frac{e^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Passaggio 11.3.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Passaggio 11.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

Passaggio 11.3.14

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

Passaggio 11.3.15

$5$ e $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

Passaggio 12.3

Sottrai $e^{2}$ da $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Forma decimale:

$10.48632012 \dots$

Passaggio 14