Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Passaggio 1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 3.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

$u^{10}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ per $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{10}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{11} u^{11}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 8.2.2

$\frac{1}{11}$ e $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 8.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Passaggio 8.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Passaggio 8.2.6

Sottrai $1$ da $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimale:

$186.\overline{09}$

Forma numero misto:

$186 \frac{1}{11}$

Passaggio 10