Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Passaggio 2.1.1.1.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Passaggio 2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Passaggio 2.1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Passaggio 2.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 2.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 2.1.7.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Passaggio 2.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Sposta $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Passaggio 2.1.8.2

Sposta $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 2 B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- 2 B$ e $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - 2 B$ con $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 2, B = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ per $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 11.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 11.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 11.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 11.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 11.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $\ln (| u_{1} |)$ per $3$ e per $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Passaggio 13.2

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $2$ e per $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Passaggio 13.3

Rimuovi le parentesi.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Passaggio 14.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Passaggio 14.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Passaggio 14.4

Riscrivi $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ come un prodotto.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Passaggio 14.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Passaggio 14.6

Moltiplica $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ per $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Passaggio 14.7

Moltiplica $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ per $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Passaggio 14.8

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Passaggio 14.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Passaggio 14.10

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Passaggio 14.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Passaggio 15.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimale:

$0.81093021 \dots$

Passaggio 17