Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Passaggio 5.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2)$

Forma decimale:

$0.69314718 \dots$

Passaggio 7