Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{4} - 1$ . Allora $d u = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{4} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $0$ e per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Passaggio 7.3

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Passaggio 7.4

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$\frac{\ln (0)}{4}$

Passaggio 8

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito