Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Passaggio 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

Passaggio 2.5.1.5

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = 15 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $16$ e per $1$ .

$4 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.4

Calcola l'esponente.

$4 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (8 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 (8 - 2)$

Passaggio 7.2.8

Sottrai $2$ da $8$ .

$4 \cdot 6$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24$

Passaggio 8