Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\sqrt{21}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{21}}^{2} + 4$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Passaggio 1.5.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Passaggio 1.5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

Passaggio 1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

Passaggio 1.5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 21^{1} + 4$

Passaggio 1.5.1.5

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = 21 + 4$

Passaggio 1.5.2

Somma $21$ e $4$ .

$u_{upper} = 25$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{25}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $25$ e per $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 6.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 6.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{1})$

Passaggio 6.2.9

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (10 - 4)$

Passaggio 6.2.11

Sottrai $4$ da $10$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Passaggio 6.2.12

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2}$

Passaggio 6.2.13

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 6.2.13.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Passaggio 6.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Passaggio 6.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1}$

Passaggio 6.2.13.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 7