Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

$\sin^{5} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (u_{1})$ come $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Passaggio 7.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 7.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 7.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9

Espandi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ come $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Passaggio 9.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Passaggio 9.5

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Passaggio 9.6

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.11

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Passaggio 9.13

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Passaggio 9.14

Sottrai ${u_{2}}^{2}$ da $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Passaggio 9.15

Riordina $- 2 {u_{2}}^{2}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9.16

Sposta $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{4}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 12

$\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 15

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Passaggio 17

$\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ e $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Passaggio 18

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Calcola $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ per $0$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Passaggio 18.2

Calcola $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ per $0$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.7

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.8

Sottrai $\frac{6}{5}$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Passaggio 18.3.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Passaggio 18.3.12

Sottrai $\frac{1}{3}$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Passaggio 18.3.13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Passaggio 18.3.14

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Passaggio 18.3.15

Per scrivere $- \frac{6}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Passaggio 18.3.16

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Passaggio 18.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.17.1

Moltiplica $\frac{6}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Passaggio 18.3.17.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Passaggio 18.3.17.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Passaggio 18.3.17.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Passaggio 18.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Passaggio 18.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.19.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Passaggio 18.3.19.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Passaggio 18.3.19.3

Somma $- 18$ e $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Passaggio 18.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Passaggio 18.3.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Passaggio 18.3.22

Moltiplica $\frac{8}{15}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Passaggio 18.3.23

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Passaggio 18.3.24

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{8}{30}$

Passaggio 18.3.25

Elimina il fattore comune di $8$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.25.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (4)}{30}$

Passaggio 18.3.25.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.25.2.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Passaggio 18.3.25.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Passaggio 18.3.25.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{15}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4}{15}$

Forma decimale:

$0.2\overline{6}$