Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Passaggio 1

Sia

$u = 3 t$ . Allora

$d u = 3 d t$ , quindi

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

$u = 3 t$ . Trova

$\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia

$3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 1.1.2

Poiché

$3$ è costante rispetto a

$t$ , la derivata di

$3 t$ rispetto a

$t$ è

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è

$n t^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$3$

Passaggio 1.2

Sostituisci

$t$ con il limite inferiore in

$u = 3 t$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica

$3$ per

$0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci

$t$ con il limite superiore in

$u = 3 t$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per

$u_{lower}$ e

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando

$u$ ,

$d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e

$\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$u$ , sposta

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di

$\sin (u)$ rispetto a

$u$ è

$- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 5

Calcola

$- \cos (u)$ per

$π$ e per

$0$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Passaggio 6

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Passaggio 7.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Passaggio 7.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Passaggio 7.6

$\frac{1}{3}$ e

$2$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$