Calcolo Esempi

\int x arccot (x) d x

$\int x arccot (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ e

d v = x

$d v = x$ .

arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Passaggio 2.2

arccot (x)

$arccot (x)$ e

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Passaggio 3

Poiché

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ fuori dall'integrale.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Passaggio 4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Passaggio 4.1.3

x^{2}

$x^{2}$ e

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Riordina

1

$1$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi

x^{2}

$x^{2}$ per

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

0

$0$ .

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

0

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

x^{2}

$x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x^{2}

$x^{2}$ .

							$1$ $1$
	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0$ $0$	+	$1$ $1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

x^{2} + 0 + 1

$x^{2} + 0 + 1$

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$
									-	$1$ $1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 8

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riordina

x^{2}

$x^{2}$ e

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 9.2

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 10

L'integrale di

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a

x

$x$ è

arctan (x) + C

$\arctan (x) + C$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (arctan (x) + C))

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{arctan (x)}{2} + C

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} arctan (x) + C

$\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C$