Calcolo Esempi

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x + 8$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x + 8$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$\frac{1}{3}$ e $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{u}{3}$ per $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Passaggio 3.7

$- \frac{8}{3}$ e $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Passaggio 3.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{12}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{8}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{8}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{11}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $9$ per $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $12$ per $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.5

Elimina il fattore comune di $8$ e $108$ .

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Passaggio 10.2.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Passaggio 10.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$