Calcolo Esempi

$\frac{10}{3 \int {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}} d t}$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 0.2 t$ . Allora $d u = 0.2 d t$ , quindi $\frac{1}{0.2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 0.2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 0.2 t]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 0.2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $0.2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.2 t$ rispetto a $t$ è $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $0.2$ per $1$ .

$0 + 0.2$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $0.2$ .

$0.2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{10}{3 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{0.2} d u}$

Passaggio 2

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{0.2}$ .

$\frac{10}{3 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{0.2} d u}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{0.2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{10}{3 (\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)}$

Passaggio 4

$\frac{1}{0.2}$ e $3$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u}$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$ come $\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$ .

$\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{15 \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Passaggio 6.2.2

$15$ e $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{15 (2 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{10}{\frac{30 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Passaggio 6.2.4

Scomponi $5$ da $30 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Passaggio 6.2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.5.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 (1)}} + C$

Passaggio 6.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1}} + C$

Passaggio 6.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{1}} + C$

Passaggio 6.2.5.4

Dividi $6 u^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$\frac{10}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Passaggio 6.2.6

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 (5)}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Passaggio 6.2.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $2$ da $6 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (5)}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Passaggio 6.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{3 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 0.2 t$ .

$\frac{5}{3 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{5}{2}}} + C$