Calcolo Esempi

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Allora $d u = \sin (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$