Calcolo Esempi

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (π x)$ . Allora $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (π x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\cos (π x) π$

Passaggio 1.1.3.3.2

Riordina i fattori di $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

Passaggio 2

$u_{2}$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$