Calcolo Esempi

$\int \arcsin (3 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arcsin (3 x)$ e $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - 9 x^{2}$ . Allora $d u = - 18 x d x$ , quindi $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - 9 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$0 - 18 x$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $18 x$ da $0$ .

$- 18 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Passaggio 6.3

Sposta $18$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{18}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{18}$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

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Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{18}$ e $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $18$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 10.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 10.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 12

Riscrivi $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$