Calcolo Esempi

$\int arccsc (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = arccsc (x)$ e $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ per $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 5

Sia $x = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Semplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Passaggio 6.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 6.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $\tan (t)$ da $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Passaggio 7

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$