Calcolo Esempi

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Passaggio 1.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forma decimale:

$0.82842712 \dots$