Calcolo Esempi

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 7.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 7.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $x$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Passaggio 11.2

Calcola $\sin (u)$ per $2 π$ e per $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Passaggio 11.3

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Passaggio 12.3

Somma $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Passaggio 12.4

$\sin (2 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Passaggio 13.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

Passaggio 13.2

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{π}{2} (π - 0)$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π}{2} (π + 0)$

Passaggio 13.4

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{π}{2} π$

Passaggio 13.5

Moltiplica $\frac{π}{2} π$ .

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Passaggio 13.5.1

$\frac{π}{2}$ e $π$ .

$\frac{π π}{2}$

Passaggio 13.5.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π^{1} π}{2}$

Passaggio 13.5.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

Passaggio 13.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 13.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π^{2}}{2}$

Forma decimale:

$4.93480220 \dots$