Calcolo Esempi

$\int (10 x^{4} - 4) \cos (2 x^{5} - 4 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Allora $d u = (10 x^{4} - 4) d x$ , quindi $\frac{1}{10 x^{4} - 4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x^{5} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{5} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x^{4} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$10 x^{4} - 4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \cos (u) d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{5} - 4 x$ .

$\sin (2 x^{5} - 4 x) + C$