Calcolo Esempi

$\frac{q x + r}{s x + t}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = q x + r$ e $g (x) = s x + t$ .

$\frac{(s x + t) \frac{d}{d x} [q x + r] - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $q x + r$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]$ .

$\frac{(s x + t) (\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $q$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $q x$ rispetto a $x$ è $q \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) (q \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) (q \cdot 1 + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $q$ per $1$ .

$\frac{(s x + t) (q + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $r$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $r$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(s x + t) (q + 0) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $q$ e $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $s x + t$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $s$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $s x$ rispetto a $x$ è $s \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $s$ per $1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $t$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + 0)}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Somma $s$ e $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s x q + t q + (- (q x) - r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x) s - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Combina i termini opposti in $s x q + t q - (q x) s - r s$ .

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori nei termini di $s x q$ e $- (q x) s$ .

$\frac{q s x + t q - q s x - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $q s x$ da $q s x$ .

$\frac{t q + 0 - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $t q$ e $0$ .

$\frac{t q - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{q t - r s}{{(s x + t)}^{2}}$