Calcolo Esempi

$\int \frac{t^{5}}{\sqrt[3]{1 + t^{6}}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + t^{6}$ . Allora $d u = 6 t^{5} d t$ , quindi $\frac{1}{6} d u = t^{5} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + t^{6}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + t^{6}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{6}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{6}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$0 + 6 t^{5}$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $6 t^{5}$ .

$6 t^{5}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{6 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{3}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t^{6}$ .

$\frac{1}{4} {(1 + t^{6})}^{\frac{2}{3}} + C$