Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Allora $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} u d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 6

Semplifica.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $e^{\frac{1}{x}}$ per $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$