Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{y^{2} - y} d y$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2} - y$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot y - y}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{1}{y \cdot y + y \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$\frac{1}{y (y - 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y (y - 1)$ .

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A (y - 1)$ per $1$ .

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Dividi $(B) (y)$ per $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

Passaggio 1.1.7

Sposta $- A$ .

$1 = A y + B y - A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 1 A$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = - 1$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Passaggio 5

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C$