Calcolo Esempi

$\int 4 x e^{7 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x e^{7 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{7 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{7}$ e $e^{7 x}$ .

$4 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{7}$ e $e^{7 x}$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

Passaggio 5

Sia $u = 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{7}$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $7$ per $7$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $4 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ come $4 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x$ .

$4 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$