Calcolo Esempi

$\int 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x e^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 8

Riscrivi $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ come $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$