Calcolo Esempi

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Passaggio 1

Sia $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ come $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Riscrivi $4 t^{2}$ come ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.1.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 t$ e $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Passaggio 1.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.8

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Passaggio 1.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Passaggio 1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Passaggio 1.3.4

Somma $64$ e $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Passaggio 1.3.5

Somma $80$ e $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{lower} = 9$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $4$ per $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Passaggio 1.5.4

Somma $196$ e $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Passaggio 1.5.5

Somma $224$ e $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Passaggio 1.5.6

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Passaggio 1.5.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{upper} = 15$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $15$ e per $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{2}$ e $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Passaggio 5.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 5.2.5

$- 81$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Passaggio 5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Passaggio 5.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Passaggio 5.2.8

Sottrai $81$ da $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $144$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $2$ da $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Passaggio 5.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Passaggio 5.2.9.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Passaggio 5.2.10

$\frac{1}{2}$ e $72$ .

$\frac{72}{2}$

Passaggio 5.2.11

Elimina il fattore comune di $72$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.1

Scomponi $2$ da $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Passaggio 5.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Passaggio 5.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{36}{1}$

Passaggio 5.2.11.2.4

Dividi $36$ per $1$ .

$36$

Passaggio 6