Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} (2 - t) \sqrt{t} d t$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2

Espandi $(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Passaggio 2.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Passaggio 2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Passaggio 2.7

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 6

$\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2})$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{2}{5}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Passaggio 9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Calcola $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Passaggio 9.2.2

Calcola $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $2$ e per $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.1.4

Somma $2$ e $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.7.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.9

Somma $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ e $0$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.10

$2$ e $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.11

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.11.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.11.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.11.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.11.4

Somma $2$ e $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.12

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.12.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.12.4

Somma $2$ e $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.13

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 9.2.3.14

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Passaggio 9.2.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Passaggio 9.2.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Passaggio 9.2.3.16

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Passaggio 9.2.3.17

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Passaggio 9.2.3.18

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.18.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Passaggio 9.2.3.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.18.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Passaggio 9.2.3.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Passaggio 9.2.3.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Passaggio 9.2.3.18.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - 0)$

Passaggio 9.2.3.19

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} + 0)$

Passaggio 9.2.3.20

Somma $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ e $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Passaggio 9.2.3.21

Per scrivere $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Passaggio 9.2.3.22

Per scrivere $- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.3.23

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.23.1

Moltiplica $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.3.23.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.3.23.3

Moltiplica $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.3.23.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Passaggio 9.2.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5 - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Passaggio 9.2.3.25

Sposta $5$ alla sinistra di $2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Passaggio 9.2.3.26

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.27

Sottrai $3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ da $5 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.28

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{7}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.28.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{7}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.28.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.28.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.28.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.28.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 7}{2}}}{15}$

Passaggio 9.2.3.28.4

Somma $2$ e $7$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Forma decimale:

$1.50849446 \dots$

Passaggio 11