Calcolo Esempi

$\int 5 e^{5 t + 2} d t$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int e^{5 t + 2} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 5 t + 2$ . Allora $d u = 5 d t$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 t + 2$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [5 t + 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int e^{u} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$\int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t + 2$ .

$e^{5 t + 2} + C$