Calcolo Esempi

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 3.3

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ per $1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Passaggio 8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ come $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.2

$e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$