Calcolo Esempi

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ per $0$ e per $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Passaggio 11.2

Calcola $e^{u}$ per $0$ e per $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.7

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Scomponi $4$ da $- 8 e^{32}$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.7.2.4

Dividi $- 2 e^{32}$ per $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.8

Sottrai $2 e^{32}$ da $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Passaggio 11.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Passaggio 12.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Passaggio 12.1.3.3

$\frac{1}{16}$ e $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Passaggio 12.2

Per scrivere $- 2 e^{32}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Passaggio 12.3

$- 2 e^{32}$ e $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Passaggio 12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Passaggio 12.6

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Passaggio 12.7

Somma $- 32 e^{32}$ e $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Forma decimale:

$- 152990735353944$

Passaggio 14