Calcolo Esempi

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Passaggio 1

Poiché $24$ è costante rispetto a $t$ , sposta $24$ fuori dall'integrale.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = t^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = t^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ come ${u_{1}}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ come ${u_{1}}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 3.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ come ${u_{2}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.3

$\frac{u_{2}}{2}$ e $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

Sia $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Allora $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $- {u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Passaggio 11.2

$e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 15.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 15.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 15.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 16

L'integrale di $e^{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Passaggio 17

Semplifica.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Passaggio 18.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$