Calcolo Esempi

$\int 2 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$