Calcolo Esempi

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 3

Sia $u = - 0.1 y$ . Allora $d u = - 0.1 d y$ , quindi $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 0.1 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 0.1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 0.1 y$ rispetto a $y$ è $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 0.1$ per $1$ .

$- 0.1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 0.1$ per $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Passaggio 3.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 0.1$ per $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{0.1}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.1}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{0.1}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.1

Calcola $e^{u}$ per $0.2$ e per $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Passaggio 12.2

Calcola $\ln (| y |)$ per $- 2$ e per $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 12.3

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 13

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Dividi $2$ per $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Passaggio 14.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Passaggio 14.4

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Passaggio 14.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Passaggio 14.6

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Forma decimale:

$1.35272566 \dots$

Passaggio 16