Calcolo Esempi

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 5 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 5 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$u_{lower} = 5 - 9$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $9$ da $5$ .

$u_{lower} = - 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 5 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Passaggio 2.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

Passaggio 9

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $4$ e per $- 4$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune di $256$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2.2.4

Dividi $64$ per $1$ .

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$- (64 - \frac{256}{4})$

Passaggio 10.2.4

Elimina il fattore comune di $256$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

Passaggio 10.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

Passaggio 10.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

Passaggio 10.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (64 - \frac{64}{1})$

Passaggio 10.2.4.2.4

Dividi $64$ per $1$ .

$- (64 - 1 \cdot 64)$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- (64 - 64)$

Passaggio 10.2.6

Sottrai $64$ da $64$ .

$- 0$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 11