Calcolo Esempi

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Passaggio 1

Sia $t = 2 \sec (t_{1})$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ è positivo.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \tan^{2} (t_{1})$ come ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \tan (t_{1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 \tan (t_{1})$ da ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 \tan (t_{1})$ da $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ e $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 (\sec (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4

Elimina il fattore comune di $\sec (t_{1})$ e $\sec^{3} (t_{1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Moltiplica per $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.2.1

Scomponi $\sec (t_{1})$ da $8 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ come ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\sec (t_{1})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\cos (t_{1})$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 10

Sia $u = 2 t_{1}$ . Allora $d u = 2 d t_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 t_{1}$ . Trova $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t_{1}$ , la derivata di $2 t_{1}$ rispetto a $t_{1}$ è $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ è $n {t_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci $t_{1}$ con il limite inferiore in $u = 2 t_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 10.4

Sostituisci $t_{1}$ con il limite superiore in $u = 2 t_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 10.5

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $t_{1}$ per $\frac{π}{3}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 14.2

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{2 π}{3}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.2

Per scrivere $- \frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.3.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 14.3.7

Sottrai $3 π$ da $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Passaggio 15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Passaggio 16.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 16.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 16.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 16.4

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Passaggio 16.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Passaggio 16.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 16.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1

Moltiplica $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 16.7.1.2

Moltiplica $16$ per $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 16.7.2

Moltiplica $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 16.7.2.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 16.7.3

Moltiplica $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Passaggio 16.7.3.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Forma decimale:

$0.01217575 \dots$

Passaggio 18