Calcolo Esempi

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x)$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{- u}}^{2}$ come $- u$ .

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Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u}$ come ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Passaggio 3.6

$\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int u e^{u} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int u e^{u} d u$ per $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$