Calcolo Esempi

$\int_{3}^{6} 2 x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{3}^{6} x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2} - 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{2} - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 3^{2} - 4$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 9 - 4$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 6^{2} - 4$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 36 - 4$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da $36$ .

$u_{upper} = 32$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 32$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{5}^{32} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{32} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{32} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{32}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $32$ e per $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 32^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{2}{3}$ e $32^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 32^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{5})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{5})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{5 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $5 (\frac{3}{2})$ .

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Passaggio 7.2.3.2.1

$5$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.7

Somma $2$ e $15$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.8

$5^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Passaggio 7.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimale:

$113.22599739 \dots$

Passaggio 9