Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Allora $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\arcsin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3.2.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.4

$4$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ per $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ per $\frac{π}{6}$ e per $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Passaggio 4.2.4

Somma $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Passaggio 5.2

Combina.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Passaggio 5.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $8$ per $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π^{2}}{288}$

Forma decimale:

$0.03426945 \dots$