Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

Passaggio 6.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $1$ .

$\frac{1}{π}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimale:

$0.31830988 \dots$